Resolução EDOs

Exercícios Resolvidos: Equações Diferenciais Ordinárias

Nesta seção, vamos resolver alguns exercícios de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), passo a passo, para entender como obter as equações diferenciais associadas e como manipulá-las. Esses exemplos são ideais para treinar a técnica e preparar-se para provas e aplicações práticas.

Exemplo 1

Problema: Encontre a equação diferencial associada à família de curvas:

y = Cx²

Solução:

1. Derivamos em relação a x:
   dy/dx = 2Cx
2. Da equação original:
   C = y / x²
3. Substituímos:
   dy/dx = 2(y/x²) * x
4. Resultado:
   dy/dx = (2y)/x

Resposta: dy/dx = (2/x) * y

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Exemplo 2

Problema: Encontre a equação diferencial associada à família de curvas:

y = Ce^x

Solução:

1. Derivamos:
   dy/dx = Ce^x
2. Mas da equação original:
   y = Ce^x
3. Portanto:
   dy/dx = y

Resposta: dy/dx = y

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Exemplo 3

Problema: Encontre a equação diferencial associada à família de curvas:

y = C₁e^x + C₂e^(-x)

Solução:

1. Primeira derivada:
   dy/dx = C₁e^x - C₂e^(-x)
2. Segunda derivada:
   d²y/dx² = C₁e^x + C₂e^(-x)
3. Comparando com a original:
   d²y/dx² = y

Resposta: d²y/dx² - y = 0

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✅ Conclusão

Esses exemplos mostram como obter a equação diferencial a partir de uma família de soluções. Em geral, o procedimento consiste em derivar, eliminar as constantes arbitrárias e chegar a uma equação que descreve a família de funções.